Réponse :

Nommons A, B et C les trois frères, A étant celui qui trouve la solution.

Au début, A voit deux chapeaux blancs.

Voici son raisonnement :
#1) Supposons que j'ai un chapeau noir.
       Donc B voit un noir et un blanc.

Maintenant, mettons-nous à la place de B.
#2)  Supposons que B suppose qu'il a un chapeau noir.
        Donc C voit deux chapeaux noirs.
        Donc C en déduit qu'il a un blanc puisqu'on sait qu'il existe AU MOINS un chapeau blanc.

Or C ne dit rien. Donc la supposition de B(#2) est fausse.
Donc B conclue qu'il a un chapeau blanc.
Or B ne dit rien. Donc ma supposition (#1) est fausse.
Donc j'ai un chapeau blanc.